Eratosthenes

Sito Eratostenesa – algorytm i jego implementacje

W poprzednich wpisach omówiliśmy sobie czym są liczby pierwsze, a także jak rozłożyć dowolną liczbę na czynniki. Są to algorytmy, które bez wątpienia warto znać na maturze z informatyki. Kolejnym, równie ważnym algorytmem jest sito Eratostenesa.

Sito Eratostenesa to algorytm za pomocą, którego jesteśmy w stanie w szybki sposób wyznaczyć liczby pierwsze z przedziału od 2 do n, gdzie n jest górną granicą przedziału. Stworzenie algorytmu przypisuje się Grekowi, Eratostenosowi z Cyreny.

Sito Eratostenesa – działanie 

Działanie algorytmu jest bardzo proste. Pobieramy najpierw liczbę n od użytkownika. Następnie tworzymy tablicę n-elementową, indeksowaną od 2 (bo to najmniejsza spośród liczb pierwszych), a następnie wartość każdej komórki w tablicy ustawiamy na prawdę. Bierzemy najmniejszy indeks (czyli dwa) i ustawiamy wartości wszystkich komórek, których indeksy są wielokrotnościami dwójki na fałsz. W dalszej kolejności postępujemy tak z następnym niewykreślonym indeksem, czyli trójką i analogicznie jak w przypadku dwójki ustawiamy wartości komórek o indeksach równych k*3 na fałsz.

W ten sposób postępujemy, dopóki obierany indeks będzie mniejszy lub równy pierwiastkowi z n. Dlaczego tak? Dlaczego do pierwiastka z n? Wynika to z tego, że liczba ma tyle samo dzielników mniejszych od tego pierwiastka, co większych od niego.

Sito Eratostenesa - gif

Spójrzmy na powyższy gif. Przedstawia on wyznaczanie liczb pierwszych z zakresu [2,100]. Jak widać proces, jaki zachodzi, w dużej mierze przypomina przesiewanie. Stąd nazwa – sito Eratostenesa. Starożytni Grecy to mieli mózgi. Taki Eratostenes na przykład… Człowiek orkiestra. Poeta, filozof, matematyk, geograf, astronom, piekarz, garncarz, tancerz…

Sito Eratostenesa – implementacje   

Zastanawiać was może jakie zastosowanie może mieć ten algorytm? Przecież można by przeiterować poprzez wszystkie liczby, a następnie każdą z osobna sprawdzić. Sito Eratostenesa jest jednak szybsze i wydajniejsze. Może się przecież zdarzyć, że na maturze pojawi się wymóg, aby program był jak najbardziej optymalny.

A propos matury. Z racji, iż większość z Was się do niej właśnie uczy, przygotowałem poniżej trzy implementacje programu: w C++, Javie oraz Pythonie. Wszystko opisane komentarzami, aby wiadomo było o co biega:

C++

Java

Python

Sito Eratostenesa – co warto wiedzieć?

  • Algorytm ten powstał już w III wieku p.n.e. Eratostenes wychodził z założenia, że łatwiej jest mnożyć niż dzielić, w związku z czym przedstawił swój sposób.
  • Przy użyciu Sita Eratostenesa uczeni w XIX wieku wyznaczyli wszystkie liczby pierwsze do liczby 10000000. Wynik ich pracy przedstawił w swoim dziele Norman Lehmer.
  • Istnieje algorytm, który sprawdzi czy podana liczba jest pierwsza. Znajdziesz go w tym wpisie.
  • Istnieje również algorytm, który rozłoży dowolną liczbę na iloczyn liczb pierwszych. Przeczytasz o tym tutaj.

Podsumowanie

Sito Eratostenesa jest jednym z wielu algorytmów, które mogą przydać się na maturze z informatyki. Jeżeli chcesz więc zrobić powtórkę lub nauczyć się czegoś nowego, zajrzyj do tego wpisu.

grupa wsparcia matura z informatyki
You Might Also Like
4 komentarze
  • Hailon
    says:

    Witam!
    Czy da się stworzyć ten algorytm oparty na obiekcie „vector”?
    Próbowałem wiele razy, najpierw uzupełniając liczbami naturalnymi obiekt vector rozpoczynając od 2, a następnie odejmując z całego zbieru liczb te, które nie są pierwsze.
    Innym razem stworzyłem pusty obiekt vector i dodawałem do niego tylko liczby pierwsze.
    Za każdym razem problem był z tym, że po każdym usunięciu lub dodaniu liczby do obiektu vector, zmieniała się jego wartość początkowa co powodowało, że przy wielokrotnościach 2, 3, 5 i 7 program usuwał niewłasciwą wartość.
    Jeśli istnieje jakiś sposób na wykonanie tego algorytmu za pomocą vectora to proszę o porady 😉

  • Krzysztof
    says:

    Jest inny sposób poszukiwania liczb pierwszych też oparty na eliminacji. W Excelu można stworzyć tabelkę z liczbami naturalnymi. Pierwsza kolumna i pierwszy wiersz to dane wejściowe dla funkcji obliczającej dane w pozostałych komórkach tabeli exel. Funkcja generuje liczby złożone nigdy liczby pierwsze. Tak utworzoną tabela jest podstawą algorytmu (napisanego jako makro w exelu) o ilości iteracji pierwiastek z (×-c) dzielony przez 3 (gdzie c to reszta dzielenia z przez 3). Dodatkowo algorytm daje informację o rozmieszczeniu liczb pierwszych wokół liczby x. Zaletą algorytmu jest 100% identyfikacja liczby pierwszej oraz możliwość realizacji podziału obliczeń (tzw. rozproszone przetwarzanie). W tej chwili jestem na etapie zwiększenia wielkości liczb naturalnych tj. napisanie algorytmu w c++.

      • Krzysztof
        says:

        Jako ciekawostkę przedstawiam fraktal Rafała, który można opisać wzorem:
        f(y)= n + x * (-1)^{n} + (3*x + 0.5 – 0.5 * (-1)^{x}) * (n + 0.5 – 0.5 * (-1)^{n})
        gdzie n > 0 i x >0 oraz x,n należy do liczb naturalnych. Liczba x określa kolejne wystąpienie liczby „złożonej” dla n. Dodatkowo zachodzi zależność jezeli:
        x parzyste, n parzyste to f(y) parzyste
        x parzyste, n nieparzyste to f(y) nieparzyste
        x nieparzyste, n parzyste to f(y) nieparzyste
        x nieparzyste, n nieparzyste to f(y) parzyste

        Związek liczb złożonych z fraktalem Rafała jest następujący:
        f(z)= 3 * f(y) + 1.5 – 0.5 *(-1)^{x+n}
        gdzie f(y) funkcja generująca liczby tworzące fraktal Rafał dla wartości x i n.

        Jeżeli dla wzoru f(y) wprowadzimy ograniczenie x >= n oraz f(y) <= Ym to otrzymamy tzw. sito Małgorzaty w przedziale liczb naturalnych (1,Ym).
        Związek wartości Y z przedziału (1,Ym) z liczbami (złożonymi i pierwszymi) jest następujący:
        f(L)= 3 * Y + 2 dla wartości nieparzystych Y lub
        f(L)= 3 * Y + 1 dla wartości parzystych Y
        oraz f(L) jest liczbą złożoną jeżeli wartość Y została wyznaczona przez f(y).

Dodaj komentarz

icon